BAC S SPECIALITE Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
 
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = -1 + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = 1 + 3\text{i}.\]
et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x + 2$.

 Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite $\mathcal{D}$.

Sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite $\mathcal{D}$.
 Résoudre l'équation $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = 0$ et vérifier que la solution de cette équation est l'affixe d'un point qui n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.

Dans la suite de l'exercice, on appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de  $-1 + 2\text{i}$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}}$.


 
Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$.

 Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}$.
    
         Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$.
         Calculer les affixes des points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ des points A, B et C.
         Déterminer l'image $\mathcal{D}_{1}$ de la droite $\mathcal{D}$ par la transformation $g$ et la tracer sur la figure.
    
  Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait correspondre le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$.
    
         Déterminer les affixes des points $h\left(\text{A}_{1}\right),\: h\left(\text{B}_{1}\right)$ et $h\left(\text{A}_{1}\right)$ et placer ces points sur la figure.
         Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a :

\[\left|\dfrac{1}{z}- \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} \iff |z - 2| = |z|.\]
 
         En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
         Démontrer que tout point du cercle $\mathcal{C}$ qui est distinct de O est l'image par $h$ d'un point de la droite $\mathcal{D}_{1}$.
    
 Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$.