Bac S Géométrie Métropole 2011

L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\overrightarrow{n} = a\overrightarrow{\imath} + b \overrightarrow{\jmath} + c\overrightarrow{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.

Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$.

Partie B - Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.}

l est attribué $1$ point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}

On désigne par $P$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z = 0$ et par A et B les deux points du plan $P$ de coordonnées respectives (1~;~2~;~0) et (0~;~3~;~1).

Soient C, D, E les points de coordonnées respectives $(1~;~1~;~-1)$, $(-1~;~4~;~2)$, $(1~;~5~;~1)$.

Les points A, B, C définissent le plan $P$.
Les points A, B, D définissent le plan $P$.
Les points A, B, E définissent le plan $P$.

La droite $D$ est définie par la représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l c r}
x &=&1 - t\\
y &=&\phantom{+}t, \\
z &=& 2 + t
\end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.$

La droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$.
La droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$.
La droite $D$ est incluse dans le plan $P$.

Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, de coordonnées (2~;~5~;~1), et de rayon $\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des points communs à la sphère $S $
et au plan $P$ est :

vide,
constitué d'un seul point,
un cercle.