BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.
Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
Toute trace de recherche sera valorisée.}

 On considère l'équation (E) : $3x-2y=1$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

 les solutions de l'équation  (E) sont les couples $(9+2k~;~13+3k)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs.

 Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers  $a$ et $b$ définis par : \[a=3n+1\text{ et } b=2n+3.\]

 le PGCD de $a$ et $b$  est égal à 7 si et seulement si $n$ est congru à 2 modulo 7.

 Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : \[a=2n^2+7n+21\text{ et }b=2n+2.\]

 pour tout entier naturel $n$, le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ sont respectivement égaux à $n+2$ et $n+17$.

 Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère le point A d'affixe $3+4\mathrm{i}$.
On note $s$ la  similitude directe $s$ de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.

 la similitude directe réciproque $s^{-1}$ a pour écriture complexe : \[z'=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}z+\dfrac{-1+7\mathrm{i}}{2}.\]

  Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a = 1 + 2\mathrm{i}$, $b = 4 - \mathrm{i}$, $c=1-2\sqrt{3}+\mathrm{i}(3 + \sqrt{3})$ et $d =4 + \sqrt{3} + 4\mathrm{i}\sqrt{3}$.

 la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle $\dfrac{\pi}{3}$.