BAC S SPECIALITE Asie juin 2012

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

{Partie A - Détermination d'une similitude directe}
 
On considére les points A et B d'affixes respectives :
\[z_{\text{A}} = -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad  
z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}.\]
    
         Ecrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
         Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1~cm comme unité graphique.
    
         Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $f$ de centre 0 qui transforme le point A en B.
         Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude $f$.
    


        {Partie B. Étude d'une transformation}

Le but de cette partie est d'étudier la transformation $g = s \circ f$, où $f$ désigne la similitude définie dans la partie A et $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$.

 Soit $M$ un point quelconque du plan. On désigne par $M'$ l'image du point $M$ par la transformation $g$.
 
On note $z$ et $z'$ les affixes respectives des points $M$ et $M'$, et $\overline{z}$ celle du conjugué de $z$.
    
         Démontrer l'égalité : $z'= 2 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\overline{z}$.
         On pose C = $g$(A) et D = $g$(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.
         Quelle est la nature du triangle OAC ?
         Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{OA}}$ et $\overrightarrow{\text{OD}}$ sont colinéaires.
    
 Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer la nature de la transformation $g \circ g$ et préciser ses éléments géométriques.