BAC S SPECIALITE Liban mai 2012

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On note $z_n$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_0 = 0$, et telle que:

\[z_{n+1}=\frac{1+\text{i}}{2}z_n+1,\ \text{pour tout entier naturel}\ n.\]
Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$.

 Calculer les affixes des points $A_1$, $A_2$ et $A_3$. Placer ces points dans le plan muni du repère $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$.
 
         Montrer que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une similitude directe $s$, dont on définira le rapport, l'angle et le centre $\Omega$, d'affixe $\omega$.
         Démontrer que le triangle $\Omega A_nA_{n+1}$ est isocèle rectangle.
    
             Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a: $\Omega A_n={\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$.
         À partir de quelle valeur de $n$ les points $A_n$ sont-ils situés à  l'intérieur du disque de centre $\Omega$ et de rayon $0,001$?
    
 Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la longueur $A_nA_{n+1}$ et $L_n$ la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^na_k$.

$L_n$ est ainsi la longueur de la ligne polygonale $A_0A_1\cdots A_nA_{n+1}$.

Déterminer la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
 \textit{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $A_n$, $\Omega$ et $A_{n+4}$ sont alignés.