BAC S SPECIALITE Amérique du Sud_novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Proposition 1:  Le reste de la division euclidienne de ${2011}^{{2011}}$ par 7 est 2 .

 Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls.
 
Proposition 2 :  S'il existe un couple de nombres entiers relatifs $(u,~ v)$ tel que $ua + vb = 3$, alors PGCD$(a,~b) = 3$ .

 Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $5$.
 
Proposition 3 :   L'entier $n^2 - 3n - 10$ n'est jamais un nombre premier .
 
L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.

On considère le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$.
 
Soit A le point de coordonnées $(-2~;~-1~;~\gamma)$.
 
Proposition 4:  Il existe un unique réel $\gamma$ tel que le point A appartient au cône $\Gamma$ .
 
 On coupe le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$ par le plan $\mathcal{P}_{a}$ d'équation $x = a$ où $a \in \mathbb{R}$.

Proposition 5:  Cette intersection peut être la réunion de deux droites .