BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2011

On considère la surface $S$ d'équation : $x^2 + y^2 - z^2 = 4$.

                   Montrer que si le point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $S$ alors le point
        
$M'(-x~;~-y~;~-z)$ appartient aussi à $S$. Que peut-on en déduire ?
         Montrer que la surface $S$ est symétrique par rapport au plan $(x\text{O}y)$. On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans $(x\text{O}z)$ et $(y\text{O}z)$.
    
               Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan $(x\text{O}y)$.
        
Préciser ses éléments caractéristiques.
         Soit $k$ un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $z = k$. Préciser ses éléments caractéristiques.
    
 Déterminer la nature géométrique de la section de la surface $S$ par le plan d'équation $y = 2$.
 On considère les points A$\left(2\sqrt{2}~;~0~;~2\right)$ et B$\left(0~;~2\sqrt{2}~;~- 2\right)$.
    
         Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
         La droite (AB) est-elle contenue dans la surface $S$ ?
    
 Identifier parmi les trois figures proposées en {annexe 2} celle qui représente la surface $S$.
 
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse.
 Soit $H$ la section de la surface $S$ par le plan $P$ d'équation $y = 5$.
    
         Montrer qu'un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à $H$ si et seulement si
        
$(x - z)(x + z) = - 21$ et $y = 5$.
         En déduire les coordonnées des points de $H$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs.