BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2011

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On note A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(6~;~1)$.
 
Pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, on note $M'$ l'image du point $M$ par la symétrie orthogonale d'axe (AB) et $\left(x'~;~y'\right)$ ses coordonnées.

         Justifier l'existence de deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe $z'$ du point $M'$ est donnée par

\[z' = a \overline{z} + b.\]
 
         En utilisant les points A et B, démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
1&=& a+b
6 + \text{i}&=& a(6 - \text{i}) + b
\end{array}\right.$

         En déduire que, pour tout nombre complexe $z$ :

\[z' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) \overline{z} + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i}).\]

         Établir que, pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, les coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ du point $M'$ sont telles que :

\[x' = \dfrac{1}{13}(12x + 5y + 1)\quad  \text{et} \quad  y' = \dfrac{1}{13}(5x - 12y - 5).\]
 
 On désigne par $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont des entiers relatifs et tels que le point $M'$ associé appartienne à l'axe des abscisses.
    
         Justifier que $M(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{E}$ si et seulement si $5(x -1) = 12y$.
         En déduire que $\mathcal{E}$ est l'ensemble des points de coordonnées $(1 + 12k~;~ 5k)$ où $k$ est un entier relatif.
    
 Dans cette question, on suppose que les coordonnées de $M$ sont des entiers relatifs et que l'abscisse de $M'$ est un entier relatif.
    
         Démontrer que $x \equiv  5y + 1\quad  [13]$.
         En déduire que $5x -12y - 5 \equiv 0\quad [13]$ et que l'ordonnée de $M'$ est un entier relatif.
    
 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer les points $M$ de la droite d'équation $x = 2$ tels que les coordonnées du point $M'$ soient des entiers relatifs.
 
On pourra montrer que l'ordonnée $y$ d'un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.