BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane septembre 2011

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.
 
On considère l'ensemble $P$ des points $M (x~;~y~;~z)$ de l'espace tels que :

\[ z = x^2 + y^2.\]
 

Les trois questions sont indépendantes.

          Montrer que l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $z = 5$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
         Déterminer la nature de l'intersection de l'ensemble $P$ et du plan d'équation $y = 1$.
    
 On considère la sphère $S$ de centre O et de rayon $\sqrt{6}$.
    
         Donner une équation de la sphère $S$.
         Montrer que l'intersection de la sphère $S$ et de l'ensemble $P$ est un cercle.
    
 Le but de cette question est de déterminer les points $M(x~;~y~;~z)$ de l'ensemble $P$, dont les coordonnées sont des entiers relatifs, appartenant au plan d'équation $- 3x + 2 y = 1$ et vérifiant $z \leqslant 25$.
    
         Donner un couple d'entiers relatifs solution de l'équation (E) : $- 3x + 2y = 1$.
         Déterminer l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
Déterminer les points de l'ensemble P dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont des entiers relatifs vérifiant :
 
\[-3x+2y = 1\quad  \text{et} \quad  z \leqslant 25.\]