BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane septembre 2011

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
 
Si $p$ est un nombre premier et $a$ est un entier naturel non divisible par $p$, alors $a^{p -1} \equiv 1\quad  (\text{modulo} p)$.
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ d'entiers naturels définie par :

\[u_{0} = 1\, \text{et, pour tout entier naturel}\, n, u_{n+1} = 10 u_{n} + 21.\]
 
 Calculer $u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$.
 
             Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,$
        
$3u_{n} = 10^{n+1} - 7$.
         En déduire, pour tout entier naturel $n$, l' écriture décimale de $u_{n}$·
    
 Montrer que $u_{2}$ est un nombre premier.

On se propose maintenant d'étudier la divisibilité des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ par certains nombres premiers.}
 
  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5.
   
             Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\, 3u_{n} \equiv 4 - (- 1)^n \quad (\text{modulo} 11)$.
         En déduire que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n}$ n'est pas divisible par 11.

             Démontrer l'égalité : $10^{16} \equiv 1 (\text{modulo} 17)$.
         En déduire que, pour tout entier naturel $k,\, u_{16k+8}$ est divisible par 17.