BAC S SPECIALITE Métropole juin 2011

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.

Théorème de BÉZOUT :

Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple
$(u~;~v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au+ bv = 1$.

Théorème de GAUSS :

Soient $a,\, b,\, c$ des entiers relatifs.

Si $a$ divise le produit $bc$ et si  $a$   et $b$  sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

 En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.
 Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si $a$ est un entier relatif, tel que $a \equiv 0 \quad [p]$  et $a \equiv 0 \quad [q]$, alors $a \equiv 0 \quad [pq]$.

PARTIE B

On se propose de déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
n &\equiv  & 9 \quad [17]
n &\equiv &3 \quad [5]
\end{array}\}\right.\]

 Recherche d'un élément de $\mathcal{S}$.

On désigne par $(u;v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u + 5v = 1$.
    
         Justifier l'existence d'un tel couple $(u~;~v)$.
         On pose $n_{0} = 3 \times  17u + 9 \times 5v$.
        
Démontrer que $n_{0}$ appartient à $\mathcal{S}$.
         Donner un exemple d'entier $n_{0}$ appartenant à $\mathcal{S}$.
    
  Caractérisation  des éléments  de $\mathcal{S}$.
    
         Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathcal{S}$.
        
Démontrer que $n - n_{0} \equiv  0\quad  [85]$.
         En déduire qu'un entier relatif $n$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $n =  43 + 85k$ où $k$ est un entier relatif.
    
 Application

Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?