BAC SPECIALITE Asie juin 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

 Pré-requis: tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.
 
Démontrer que tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l'unicité de cette décomposition).
 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $629$.
 
Partie B
Dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$, on considère les surfaces $\Gamma$ et $C$ d'équations respectives : $\Gamma$ : $z = x y$ et $C$ : $x^2 + z^2 = 1$.
 
 Donner la nature de la surface $C$ et déterminer ses éléments caractéristiques.
 Points d'intersection à coordonnées entières des surfaces $\Gamma$ et $C$
    
         Démontrer que les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ des points d'intersection de $\Gamma$ et de $C$ sont telles que :

\[x^2 \left(1 + y^2\right) = 1.\]
 
         En déduire que $\Gamma$ et $C$ ont deux points d'intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.
    
 Points d'intersection à coordonnées entières de $\Gamma$ et d'un plan
 
Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on désigne par $P_{n}$ le plan d'équation $z = n^4 + 4$.
    
         Déterminer l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{1}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Pour la suite de l'exercice, on suppose $n \geqslant  2$.
 
         Vérifier que : $\left(n^2 - 2n + 2\right)\left(n^2 + 2n + 2\right) = n^4 + 4$.
         Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel $n \geqslant 2,\, n^4 + 4$ n'est pas premier.
         En déduire que le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{n}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8.
         Déterminer les points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{5}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.