BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane juin 2011

 On considère l'équation (E): $11x-7y = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

 Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tels que $11u - 7v = 1$. Trouver un tel couple.
 En déduire une solution particulière de l'équation (E).
 Résoudre l'équation (E).
 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on considère la droite $D$ d'équation cartésienne $11x -7y - 5 = 0$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan tels que $0\leqslant x\leqslant 50$ et $0\leqslant y\leqslant 50$.

Déterminer le nombre de points de la droite $D$ appartenant à l'ensemble $\mathcal{C}$ et dont les coordonnées sont des nombres entiers.

 On considère l'équation (F) : $11x^2-7y^2=5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

 Démontrer que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2$~(mod~5).
 Soient $x$ et $y$ des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Modulo 5, $x$ est congru à & 0&1&2&3&4
\hline
Modulo 5, $x^2$ est congru à &&&&&
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Modulo 5, $y$ est congru à & 0&1&2&3&4
\hline
Modulo 5, $2y^2$ est congru à &&&&&
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ et de $2y^2$ par 5~?
 En déduire que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x$ et $y$ sont des multiples de 5.

 Démontrer que si $x$ et $y$ sont des multiples de 5, alors le couple $(x~;~y)$ n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F)~?