BAC S SPECIALITE Liban mai 2011

Partie A
 
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct.
 
Prérequis : L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'= az + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$.

Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points du plan tels que A $~\neq~$ B et A$' ~\neq~$B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$.
 
Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},\, \overrightarrow{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2} \:\text{modulo}\: 2\pi$.

On note D le symétrique de A par rapport au point C.
 
On désigne par $s$ la similitude directe transformant D en C et C en B.
 
 Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$.
 On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $s$.
    
         En utilisant la relation $\overrightarrow{\text{DC}} = \overrightarrow{\Omega\text{C}} - \overrightarrow{\Omega\text{D}}$, démontrer que $\text{DC}^2 = \Omega\text{D}^2$.
         En déduire la nature du triangle $\Omega$DC.
    
 On pose $\sigma = s \circ s$.
    
         Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
         Déterminer l'image du point D par la transformation $\sigma$.
    
 Démontrer que le quadrilatère AD$\Omega$B est un rectangle.
 Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{u},\,\overrightarrow{v}\right)$, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0,\, 1,\ i et 2i.
    
         Démontrer que l'écriture complexe de la similitude $s$ est :
        
$z' = (1 + \text{i}) z + 2 - \text{i}$
où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un point $M$ et de son image $M'$ par $s$.
         On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$.
        
 Démontrer que  $\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&x- y + 2
y'&=&x + y - 1
\end{array}\right.$
         Soit J le point d'affixe $1 + 3\text{i}$.
        
Existe-t-il des points $M$ du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que
 
$\overrightarrow{\text{A}M'} \cdot \overrightarrow{\text{AJ}} = 0$, $M'$ désignant l'image du point $M$ par $s$ ?