BAC S SPECIALITE Amérique du Nord mai 2011

Partie A :  Restitution organisée de connaissances
 
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
 
 Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$, alors

$q^{p - 1} \equiv 1 \quad (\text{modulo}\, p)$ .
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

\[u_{n} = 2^n + 3^n + 6^n - 1.\]
 
 Calculer les six premiers termes de la suite.
 Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair.
 Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair non nul, $u_{n}$ est divisible par~4.
 
On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $\left(u_{n}\right)$.
 Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?
 Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à 3.
    
         Montrer que : $6 \times 2^{p-2} \equiv 3\quad  (\text{modulo}\, p)$ et $6 \times 3^{p-2} \equiv  2 \quad (\text{modulo}\, p)$.
         En déduire que $6u_{p-2} \equiv 0 \quad (\text{modulo}\, p)$.
         Le nombre $p$ appartient-il à l'ensemble (E) ?