BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2011

Partie A
 
On considère, dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, la surface $\mathcal{S}$ d'équation :

\[z = (x - y)^2.\]

 On note $\mathcal{E}_{1}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$.
 
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{1}$.
On note $\mathcal{E}_{2}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $x = 1$.
 
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{2}$.
 
Partie B
 
On considère, dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, la surface $\mathcal{S}'$ d'équation :

\[z = xy.\]
 
 On note $\mathcal{E}_{3}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$.
 
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{3}$
 On note $\mathcal{E}_{4}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $z = 1$.
 
Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{4}$.
 
Partie C
 
On note $\mathcal{E}_{5}$  l'intersection de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{S}'$.
 
Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0~;~0~;~0).
 
On suppose qu'il existe un point $M$ appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ et dont les coordonnées $x,~y$ et $z$ sont des entiers naturels.
 
 Montrer que si $x = 0$, alors le point $M$ est le point O.
 On suppose dorénavant que l'entier $x$ n'est pas nul.
    
         Montrer que les entiers $x,\, y$ et $z$ vérifient $x^2 - 3xy + y^2 = 0$.
        
En déduire qu'il existe alors des entiers naturels $x'$ et $y'$ premiers entre eux tels que $x'^2 - 3x'y' + y'^2 = 0$.
          Montrer que $x'$ divise $y'^2$, puis que $x'$ divise $y'$.                  

Établir que $y'$ vérifie la relation $1 - 3y' + y'^2 = 0$.
          Conclure.