BAC S COMPLEXE Amérique du Sud novembre 2010

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on pose $A(n) = n^4 + 1$.

L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de} $A(n)$.

 Quelques résultats
    
         Étudier la parité de l'entier $A(n)$.
         Montrer que, quel que soit l'entier $n,~A(n)$ n'est pas un multiple de 3.
         Montrer que tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ est premier avec $n$.
         Montrer que, pour tout entier $d$ diviseur de $A(n)$ :

\[n^8 \equiv 1\quad \mod d.\]

     Recherche de critères
 
Soit $d$ un diviseur de $A(n)$. On note $s$ le plus petit des entiers naturels non nuls $k$ tels que $n^k \equiv  1\quad  \mod d$.
    
         Soit $k$ un tel entier. En utilisant la division euclidienne de $k$ par $s$, montrer que $s$ divise $k$.
          En déduire que $s$ est un diviseur de 8.
          Montrer que si, de plus, $d$ est premier, alors $s$ est un diviseur de $d -1$. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
    
 Recherche des diviseurs premiers de $A(n)$ dans le cas où $n$ est un entier pair.
 
Soit $p$ un diviseur premier de $A(n)$. En examinant successivement les cas $s = 1,~s = 2$ puis $s = 4$, conclure que $p$ est congru à 1 modulo $8$.
 Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de $A(12)$.
 
Indication :} la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, \ldots