BAC S SPECIALITE Calédonie novembre 2010

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
On considère la similitude indirecte $f$ d'écriture complexe

\[z' = \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\overline{z}\]
où $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$.
 
Soient les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{2}$  et $z_{\text{B}} = - \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}$.
On note A$'$ et B$'$ les images respectives des points A et B par $f$.
Une figure fournie en ANNEXE  du sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Les différentes constructions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.
 
         Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle.
         Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct.
         En déduire la nature du triangle OA$'$B$'$.
         Montrer que l'affixe $z_{\text{A}'}$ de A$'$ vérifie l'égalité : $z_{\text{A}'} =  2z_{\text{A}}$.
        
En déduire la construction de A$'$ et B$'$.  

On note $r$ la rotation de centre O et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{3}$, et $s$ la symétrie orthogonale  
d'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$. On pose $g = r \circ s$.
    
         Déterminer l'écriture complexe de la transformation $g$.
         Montrer que les points O et A sont invariants par $g$.
         En déduire la nature de la transformation $g$.
         
         Montrer que l'on peut écrire $f = h \circ g$, où $h$ est une homothétie de centre et de rapport à déterminer.
         Sur la figure placée en {ANNEXE}, un point C est placé. Faire la construction de l'image C$'$ de C par la transformation $f$.