BAC S SPECIALITE Réunion septembre 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$; unité graphique: 8~centimètres.
 
On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$  telle que

\[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\]

 Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$.
 On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante :  $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.
    
         Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$
         Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
    
 Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative meme non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
 
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ?