BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2010

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les deux rectangles OABC et DEFG où les points A, B, C, D, E, F, G ont pour affixes respectives

\[z_{\text{A}} = -2,~ z_{\text{B}} = -2 + \text{i},~z_{\text{C}}= \text{i},~z_{\text{D}}= 1,~z_{\text{E}}= 1 + 3\text{i},~z_{\text{F}}= \dfrac{5}{2} + 3\text{i},z_{\text{G}} = \dfrac{5}{2}.\]

Voir la figure donnée en annexe 3.

 On considère la similitude directe $s$ transformant O en D et A en E.
    
         Justifier que l'écriture complexe de la similitude $s$ est: $z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}z + 1$.
         Déterminer l'angle et le rapport de la similitude $s$.
         Quelle est l'image du rectangle OABC par la similitude $s$ ?
    
 On considère la similitude indirecte $s'$ d'écriture complexe $z' = -\dfrac{2}{3}\text{i}\overline{z} + \dfrac{5}{3}\text{i}$.
    
         Déterminer l'image du rectangle DEFG par la similitude $s'$.
         On considère la similitude $g = s' \circ s$.
        
Déterminer l'image du rectangle OABC par la similitude $g$.
         Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
        
La similitude $g$ a-t-elle des points fixes ? Que peut-on en conclure pour $g$ ?