BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2010

Les parties A et B sont indépendantes}

Partie A

On considère l'équation (E) : $7x - 6y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers naturels.
 
         Donner une solution particulière de l'équation (E)
     Déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels solutions de l'équation (E).
 
Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples $(n,~m)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation : $7^n - 3 \times 2^m = 1$  (F).

     On suppose $m \leqslant 4$.
    
Montrer qu'il y a exactement deux couples solutions.
     On suppose maintenant que $m \geqslant  5$.
        
             Montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n  \equiv 1\quad  (\text{mod}~ 32)$.
             En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $n$ est divisible par $4$.
             En déduire que si le couple $(n,~m)$ vérifie la relation (F) alors $7^n \equiv 1\quad(\text{mod}~ 5)$.
             Pour $m \geqslant 5$, existe-t-il des couples $(n,~m)$ d'entiers naturels vérifiant la relation (F) ?
        
     Conclure, c'est-à-dire déterminer l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F).