BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2010

Partie 1 : Restitution organisée de connaissances
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Prérequis :
 
On rappelle que l'écriture complexe d'une similitude directe du plan est de la forme $z' = \alpha z + \beta$, où $\alpha$ est un nombre complexe non nul et $\beta$ est un nombre complexe.
Soient A, B, C, D quatre points du plan ; on suppose d'une part que les points A et C sont distincts et d'autre part que les points B et D sont distincts.
Démontrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ telle que $s$(A) = B et $s$(C) = D.
 
Partie II :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}}\right)$ ;
$\left(\vect{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.
On considère le point C tel que ABCD est un carré.
Soit E le milieu du segment [AD], on considère le carré EDGF tel que $\left(\vect{\text{ED}},~ \overrightarrow{\text{EF}}\right)= \dfrac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

             Faire une figure en plaçant les points A, B, C, D, E, F, G. On complètera la figure au cours de l'exercice.
             Préciser les nombres complexes $a,~ b,~ c,~ d,~ e,~ f,~  g$, affixes respectives des points A, B, C, D, E, F et G.
             Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s$ du plan telle que $s$(D) = F et $s$(B) = D.
        
     On se propose de préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe $s$.
        
             Déterminer le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de la similitude directe $s$.
             Donner l'écriture complexe de cette similitude.
             Déterminer, le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$.