BAC S SPECIALITE Métropole juin 2010

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} d'unité graphique 1~cm, on considère les points $A,~B,~C,~M,~N$ et $P$ d'affixes respectives :
\[a = 1 + \text{i},~ b = -1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\]  
    
         Placer les points $A,~ B,~C,~M,~N$ et $P$ dans le repère.
         Calculer les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $NMP$.
         En déduire que ces deux triangles sont semblables.
    
Dans la suite de l'exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle MNP.}
 Une similitude directe
    
Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$.
    
          Montrer qu'une écriture complexe de la similitude $s$ est:
\[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\]
 
         Déterminer le rapport, la valeur de l'angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude $s$.
         Vérifier que la similitude $s$ transforme le point $C$ en $M$.
    
      Une similitude indirecte
 
    Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est :
    
\[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\]
 
          Vérifier que :

$\left\{\begin{array}{l c l}
                s'(A) &=& N\\
                s'(B) &=& M\\
                s'(C) &=& P
            \end{array}\right.$
         Démontrer que $s'$ admet un unique point invariant $K$ d'affixe $k = 1 - \text{i}$.
         Soit $h$ l'homothétie de centre $K$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et $J$ le point d'affixe $2$.
        
On pose : $f = s'\circ h$.
            
Déterminer les images des points $K$ et $J$ par la transformation $f$. En déduire la nature précise de la transformation  $f$.
         Démontrer que la similitude $s'$ est la composée d'une homothétie et d'une réflexion.