BAC S COMPLEXE Asie juin 2010

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points B, C et H d'affixes respectives :
\[b = 5\text{i},\quad c = 10\quad \text{et}\quad  h = 2 + 4\text{i}.\]
 
Construire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.}

     Étude de la position du point H
        
             Démontrer que le point H appartient à la droite (BC).
             Calculer $\dfrac{h}{h - c}$, et en déduire que $\left(\overrightarrow{\text{HC}},\overrightarrow{\text{HA}}\right)  = - \dfrac{\pi}{2} \quad  [2\pi]$.
            
     Étude d'une première similitude
        
             Calculer les rapports : $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}},~\dfrac{\text{BA}}{\text{AC}}$  et $\dfrac{\text{AH}}{\text{CH}}$.  
             Démontrer qu'il existe une similitude directe $S_{1}$ qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB.
             Déterminer l'écriture complexe de cette similitude $S_{1}$ ainsi que ses éléments caractéristiques.
        
     Étude d'une seconde similitude
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation}
    On note $S_{2}$ la similitude qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
    \[z' =(- 1 - 2\text{i})\overline{z} + 10.\]
    
    Démontrer que $S_{2}$ est composée d'une symétrie orthogonale d'axe ($\Delta$), et d'une similitude directe dont le centre $\Omega$ appartient à ($\Delta$). Préciser ($\Delta$).
      Étude d'une composée
        
             Calculer le rapport de la similitude composée $S_{2} \circ  S_{1}$.
             En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.