BAC S Antilles-Guyane juin 2010

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} d'unité 1~cm.

Restitution organisée de connaissances
    
On utilisera sans démonstration les deux propriétés suivantes:
Propriété 1: Toute similitude indirecte qui transforme un point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ admet  une expression complexe de la forme $z'=a\overline{z}+b$ où $a\in\mathbb{C}^*$ et $b\in\mathbb{C}$.
Propriété 2: Soit C une point d'affixe $c$. Pour tout point D, distinct de C, d'affixe $d$ et pour tout point E, distinct de C, d'affixe $e$, on a:
\[
\left(\overrightarrow{CD}~;~\overrightarrow{CE}\right)=\arg\left(\dfrac{e-c}{d-c}\right)~~(2\pi).
\]

Question: Montrer qu'une similitude indirecte transforme un angle orienté en son opposé.
    
     Soient les points $C$ et $D$ d'affixes respectives $c = 3$ et $d = 1 - 3\text{i}$, et  $\mathcal{S}_1$ la similitude qui à tout point $M$ du plan associe le point $M_1$ symétrique de $M$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$ des réels.
        
             Placer les points $C$ et $D$ puis leurs images respectives $C_1$ et $D_1$ par $\mathcal{S}_1$. On complètera le figure au fur et à mesure de l'exercice.
             Donner l'expression complexe de $\mathcal{S}_1$.
        
      Soit $\mathcal{S}_2$ la similitude directe définie par :

     le point $C_1$ et son image $C' $ d'affixe $c'=1+4\i$;
     le point $D_1$ et son image $D'$  d'affixe $d'=-2+2\i$.

   
        
             Montrer que l'expression complexe de $\mathcal{S}_2$ est : $z'=\i z+1+\i$.
             En déduire les éléments caractéristiques de cette similitude.
        
     Soit $\mathcal{S}$ la similitude définie par $\mathcal{S}=\mathcal{S}_2\circ\mathcal{S}_1$.
    
Déterminer l'expression complexe de $\mathcal{S}$.
     On pourra admettre désormais que $\mathcal{S}$ est la similitude indirecte d'expression complexe:
\[
z'=\i\overline{z}+1+\i.
\]
             Quelle est l'image de $C$ par $\mathcal{S}$~? Quelle est l'image de $D$ par $\mathcal{S}$~?
             Soit $H$ le point d'affixe $h$ tel que: $h-c=\text{e}^{i\frac{\pi}{3}}(d-c)$.
            
Montrer que le triangle $CDH$ est équilatéral direct.
             Soit $H'$ l'image de $H$ par $\mathcal{S}$. Préciser la nature du triangle $C'D'H'$ et construire le point $H'$ (on ne demande pas de calculer l'affixe $h'$ du point $H'$).