BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2010

Partie A

On cherche l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x,~y)$ solutions de l'équation

\[(\text{E}) :\quad  16x - 3y = 4.\]

     Vérifier que le couple (1~;~4) est une solution parliculière de (E).
     Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
 
Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.\\
On considère la transformation $f$ du  plan, qui à tout point $M$ d' affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par

\[z' = \sqrt{2}\text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{8z.\]
 
On définit une suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la manière suivante :\\
le point M$_{0}$ a pour afflxe $z_{0} = \text{i}$ et pour tout entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$.

On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.

Les points M$_{0}$, M$_{1}$,  M$_{2}$ et M$_{3}$ sont placés sur la figure donnée en annexe page 6.
 
     Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$.
     On note $g$ la transformation $f \circ  f \circ f \circ f$.
        
              Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$.
             En déduire que pour tout entier naturel $n$, O$M_{n+4} =4 \text{O}M_{n}$ et que $\left(\overrightarrow{\text{O}M_{n}},~\overrightarrow{\text{O}M_{n+4}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.
             Compléter la figure en construisant les points M$_{4}$, M$_{5}$ et M$_{6}$.
        
     Démontrer que pour tout entier naturel $n,~z_{n} = \left(\sqrt{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{3n\pi}{8} \right)}$.
     Soient deux entiers naturels $n$ et $p$ tels que $p \leqslant n$.
        
              Exprimer en fonction de $n$ et $p$ une mesure de $\left(\overrightarrow{\text{O}M_{p}},~\overrightarrow{\text{O}M_{n}}\right)$.
             Démontrer que les points O, $M_{p}$ et $M_{n}$ sont alignés si et seulement si $n - p$ est un multiple de $8$.
        
     Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que le point $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). On pourra utiliser la partie A.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-8,-6)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0)(0,1)(-1.307,0.541)(-1.439,-1.413)(1.067,-2.643)
\uput[u](-1.307,0.541){$M_{1}$}\uput[l](-1.439,-1.413){$M_{2}$}\uput[r](1.067,-2.643){$M_{3}$}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{u}$}\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{v}$}
\uput[d](9,0){$x$}\uput[l](0,7){$y$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1){$M_{0}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-8,-6)(9,7)
\end{pspicture}