Bac Math Polynésie juin 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2 + 2\mathrm{i}$, $b = -3 - 6\mathrm{i}$ et $c = 1$.\\ \noindent La figure de l'exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats. Quelle est la nature du triangle ABC ? Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. En déduire l'affixe du point A' image de A par $r$. Vérifier que l'affixe $s$ du point S milieu de [AA'] est $s=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}\mathrm{i}$. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC. On construit de la même manière C' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, Q le milieu de [CC'], B' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et P le milieu de [BB'].\\ On admet que les affixes respectives de Q et de P sont $q =\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$ et $p = 2 - 5 \mathrm{i}$. Démontrer que $\dfrac{s-q}{p-a}=-\mathrm{i}$. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur. {Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.