BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 2009

On considère un carré direct ABCD (c'est à dire un carré ABCD tel que :$\left(\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\quad[2\pi]$) de centre I.

Soit J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [CD] et [DA].

$\Gamma_1$ désigne le cercle de diamètre [AI] et $\Gamma_2$ désigne le cercle de diamètre [BK].

Partie A

     Déterminer le rapport et l'angle de la similitude directe $s$ telle que
    $s(\text{A})=\text{I}$ et $s(\text{B}) = \text{K}$.
     Montrer que les cercles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ se coupent en deux points distincts~: le point J et le centre $\Omega$ de la similitude directe $s$.
     
             Déterminer les images par $s$ des droites (AC) et (BC). En déduire l'image du point C par $s$.
             Soit E l'image par $s$ du point I. Démontrer que E est le milieu du segment [ID].
        
     Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, sera prise en compte dans l'évaluation}.
    Démontrer que les points A, $\Omega$ et E sont alignés.
    (On pourra considérer la transformation $t=s\circ s$).

Partie B

 Désormais, on considère que le côté du carré mesure 10 unités et on se place dans le repère orthonormé direct
$\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{10}\overrightarrow{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{10}\overrightarrow{\text{AD}}\right)$.

     Donner les affixes des points A, B, C et D.
     Démontrer que la similitude directe $s$ a pour écriture complexe
\[z' = \dfrac{\text{i}}{2}z + 5 + 5\text{i}.\]
     Calculer l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ de $s$.
     Calculer l'affixe $z_\text{E}$ du point E et retrouver l'alignement des points A, $\Omega$ et E.
     Démontrer que les droites (AE), (CL) et  (DJ) sont concourantes au point $\Omega$.