BAC S SPECIALITE Antilles - Guyane septembre 2009

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.
On considère la surface $S_{1}$ d'équation $z = x^2 + y^2$, et la surface $S_{2}$ d'équation $z = xy + 2x$.
 
PARTIE A

On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x = 2$, $E_{1}$ l'intersection de la surface $S_{1}$ et du plan $\mathcal{P}$ et $E_{2}$ l'intersection de la surface $S_{2}$ et du plan $\mathcal{P}$.
 
En {annexe}, le plan $\mathcal{P}$ est représenté muni du repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$ où A est le point de coordonnées $(2~;~0~;~0)$.
    
         Déterminer la nature de l'ensemble $E_{1}$.
          Déterminer la nature de l'ensemble $E_{2}$.
                 
         Représenter les ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$ sur la feuille {annexe}.
         Dans le repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)${} donner les coordonnées des points d'intersection B et C des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$.
    
PARTIE B

On pourra utiliser sans démonstration la propriété suivante :
 
 soient $a,~ b$ et $c$ des entiers avec $a$ premier. Si $a$ divise $bc$ alors $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$.}

L'objectif de cette partie est de déterminer les points d'intersection $M(x~;~y~;~z)$ des surfaces $S_{1}$ et $S_{2}$ où $y$ et $z$ sont des entiers relatifs et $x$ un nombre premier.

On considère un tel point $M(x~;~y~;~z)$.
     
             Montrer que $y(y - x) = x(2 - x)$.
             En déduire que le nombre premier $x$ divise $y$.
        
     On pose $y = kx$ avec $k \in  \mathbb{Z}$.
        
             Montrer que $x$ divise 2, puis que $x = 2$.
             En déduire les valeurs possibles de $k$.
        
     Déterminer les coordonnées possibles de $M$ et comparer les résultats avec ceux de la PARTIE A, question 2. b.
 
\begin{center}
\psset{unit=0.875cm}
\begin{pspicture}(-7,-5)(8,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-7,-5)(8.2,15.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10,gridwidth=2pt,gridcolor=orange](0,0)(-7,-5)(8,15)
\uput[d](8,0){$y$}\uput[l](0,15.2){$z$}\uput[dl](0,0){A}
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{\jmath}$} \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}