BAC S SPECIALITE Métropole septembre 2009

         Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.
         Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11.
         Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{2009} + 2009$ par 11.
    
 On désigne par $p$ un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre $A_{n} = 2^{n} + p$.
    On note $d_{n}$ le PGCD de $A_{n}$ et $A_{n+1}$.
    
         Montrer que $d_{n}$ divise $2^{n}$.
         Déterminer la parité de $A_{n}$ en fonction de celle de $p$. Justifier.
         Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
        
Déterminer la parité de $d_{n}$ en fonction de celle de $p$.

En déduire le PGCD de $2^{2009} + 2009$ et $2^{2010} + 2009$.