BAC S SPECIALITE Amérique du Nord juin 2009

Soit $A$  l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle $[1~;~46]$.
 
  On considère l'équation
    \[(E) : \quad  23x + 47y = 1\]
    où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
    
         Donner une solution particulière $\left(x_{0},~y_{0}\right)$ de $(E)$.
         Déterminer l'ensemble des couples $(x,~y)$ solutions de $(E)$.
         En déduire qu'il existe un unique entier $x$ appartenant à $A$ tel que $23x \equiv  1\quad  (47)$.
    
  Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
    
         Montrer que si $ab \equiv 0 \quad  (47)$ alors $a \equiv 0 \quad  (47)$) ou $b \equiv 0 \quad  (47)$.
         En déduire que si $a^2 \equiv  1 \quad  (47)$ alors $a \equiv  1 \quad  (47)$ ou a $a \equiv -1 \quad  (47)$.
    
           Montrer que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un entier relatif $q$ tel que $p \times  q \equiv 1 \quad (47)$.
            Pour la suite, on admet que pour tout entier $p$ de $A$, il existe un unique entier, noté $inv(p)$, appartenant à $A$ tel que $p \times inv(p) \equiv  1 \quad  (47)$.
            
Par exemple :
            
$inv(1) = 1$ car $1 \times 1 \equiv 1 \quad  (47),~ inv(2) = 24$ car $2 \times 24 \equiv  1 \quad  (47),$

$ inv(3) = 16$ car $3 \times 16=\equiv  1 \quad  (47)$.
         Quels sont les entiers $p$ de $A$ qui vérifient $p = inv (p)$ ?
         Montrer que $46 ! \equiv -1 \quad (47)$.