BAC S SPECIALITE Liban juin 2009

Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel $n$ dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que $n^3 \equiv  2009 \mod {10000}$.
   
Partie A

 Déterminer le reste de la division euclidienne de ${2009}^2$ par $16$.
 En déduire que En déduire que ${2009}^{{8001}} \equiv  2009 \;\mod 16$$.

Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$u_{0} = {2009}^2 - 1$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = \left(u_{n} + 1\right)^5 -1$.
    
          Démontrer que $u_{0}$ est divisible par 5.
         Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel $n,$
            \[ u_{n1} = u_{n}\left[u_{n}^4 + 5\left(u_{n}^3 + 2u_{n}^2 +2u_{n} + 1\right)\right].\]
         Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ est divisible par $5^{n+1}$.
    
          Vérifier que $u_{3} = {2009}^{250} -1$ puis en déduire que ${2009}^{250} \equiv  1 \mod 625$.
         Démontrer alors que ${2009}^{{8001}} \equiv  {2009} \mod 625$.

Partie C

     En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que ${2009}^{{8001}} - {2009}$ est divisible par 10000

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      Conclure, c'est-à-dire déterminer un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009.