BAC S SPECIALITE Polynésie juin 2009

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

On supposera connu le résultat suivant :

Une application $f$ du plan dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az+b$ où $a \in \mathbb{C} - \{0\}$ et $ b \in \mathbb{C}$.

Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points teIs que A est distinct de B et A$'$ est distinct de B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$.

Partie B
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$, unité graphique 2~cm.

On note A, B, C, D et E les points d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2,~ z_{\text{C}} = 4+6\text{i},~ z_{\text{D}} = -1 +\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{E}} =     -3+3\text{i}. \]
 Placer les points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure des questions.
  Déterminer la nature du triangle ABC.
 Soit $f$ la similitude plane directe telle que $f$(A) = D et $f$(B) = A.
    
          Donner l'écriture complexe de $f$.
         Déterminer l'angle, le rapport et le centre $\Omega$ de cette similitude.
         Montrer que le triangle DAE est l'image du triangle ABC par la similitude $f$.
         En déduire la nature du triangle DAE.
    
 On désigne par $\left(\Gamma_{1}\right)$ le cercIe de diamètre [AB] et par $\left(\Gamma_{2}\right)$ le cercle de diamètre [AD].
 
    On note $M$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{1}\right)$ et de la droite (BC), et $N$ le second point d'intersection du cercle $\left(\Gamma_{2}\right)$ et de la droite (AE).
    
         Déterminer l'image de $M$ par la similitude $f$.
         En déduire la nature du triangle $\Omega MN$.
         Montrer que $M\text{B} \times N\text{E} = M\text{C} \times N\text{A}$.