BAC S SPECIALITE Asie juin 2009

On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs $N$ tels que \[\left\{\begin{array}{l c l r}
N&\equiv&5&(13)\\
N&\equiv &1&(17)
\end{array}\right.\]
         Vérifier que 239 est solution de ce système.
         Soit $N$ un entier relatif solution de ce système.
            Démontrer que $N$ peut s'écrire sous la forme $N = 1 + 17x = 5 + 13y$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs vérifiant la relation $17x - 13y = 4$.
         Résoudre l'équation $17x - 13y = 4$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
         En déduire qu'il existe un entier relatif  $k$ tel que $N = 18 + 221k$.
         Démontrer l'équivalence entre $N \equiv 18 \quad (221)$ et $\left\{\begin{array}{l c l r}
N&\equiv&5&(13)\\
N&\equiv &1&(17)
\end{array}\right.$.

 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infruxtueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    
         Existe-t-il un entier naturel $k$ tel que $10^k \equiv 1 \quad (17)$ ?
         Existe-t-il un entier naturel $l$ tel que $10^l \equiv 18 \quad (221)$ ?