BAC S SPECIALITE Métropole juin 2009

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
     
          Déterminer l'ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : $\quad  8x - 5y = 3$.
         Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p,~ q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8 p + 1$ et $m = 5q + 4$.
        
Montrer que le couple $(p,~ q)$ est solution de l'équation (E) et en déduire que $m \equiv 9\quad  (\text{modulo}~ 40)$.
          Déterminer le plus petit de ces nombres entiers $m$ supérieurs à \np{2000}.
    
 Soit $n$ un nombre entier naturel.
    
         Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a : $2^{3k} \equiv  1 (\text{modulo}~7)$.
         Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{2009}$ par 7 ?
    
 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. }

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a \neq 0$.
    
On considère le nombre $N = a \times  10^3 + b$. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$.

On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7.
    
          Vérifier que $10^3 \equiv  -1 (\text{modulo}~7)$.
          En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés.