BAC S COMPLEXE Amérique du Nord mai 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère l'application $f$ du plan dans lui même qui, à tout point
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$
telle que : $z' = z^2$.

On note $\Omega$ le point d'affixe $1$.

Déterminer l'ensemble $\Gamma_1$ des points $M$ du plan
tels que $f(M) = M$.
Soit $A$ le point d'affixe $a = \sqrt{2}- \text{i}\sqrt{2}$.

Exprimer $a$ sous forme exponentielle.
En déduire les affixes des deux antécédents de $A$ par $f$.

Déterminer l'ensemble $\Gamma_2$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que l'affixe $z'$ du point $M'$ soit un nombre imaginaire pur.
Dans cette question, on souhaite déterminer l'ensemble
$\Gamma_3$ des points $M$ distincts de $\Omega$ pour lesquels le
triangle $\Omega MM'$ est rectangle isocèle direct en $\Omega$.

À l'aide de la rotation de centre $\Omega$ et d'angle
$\frac{\pi}{2}$, montrer que $M$ est un point de $\Gamma_3$ si et
seulement si $z^2 - \text{i} z -1 + \text{i} = 0$ et $z \not= 1$.
Montrer que $z^2 - \text{i} z - 1 + \text{i} = (z - 1)(z + 1-\text{i})$.
En déduire l'ensemble $\Gamma_3$.

Soit $M$ un point d'affixe $z$ différente de $0$ et de $1$.

Exprimer $\left ( \overrightarrow{\text{O}M\vphantom{'}},\overrightarrow{\text{O}M'}\right)$ en fonction
d'un argument de $z$.
En déduire l'ensemble $\Gamma_4$ des points $M$ distincts de O et de $\Omega$ tels que O, $M$ et $M'$ soient alignés.