BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane juin 2009

Dans chacun des cas suivants, indiquer si l'affirmation proposée est vraie ou fausse et justifier la réponse.

 Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
    On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=(1+i\sqrt{3})z+2\sqrt{3}$.
    
On note $A$ le point d'affixe $2i$.

Affirmation:
$f$ est la similitude directe, de centre $A$, d'angle $\frac\pi3$ et de rapport 2.

Affirmation:
        $1991^{2009}\equiv 2~(7)$.
 $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques, $n$ et $p$ sont deux entiers naturels premiers entre eux.

Affirmation:
        $a\equiv b~(p)$ si et seulement si $na\equiv nb~(p)$.

 L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.
    $\mathscr{E}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace dont les coordonnées $(x;y;z)$ vérifient l'équation : $z=x^2+y^2$. On note $\mathscr{S}$ la section de $\mathscr{E}$ par le plan d'équation $y=3$.

Affirmation:
        $\mathscr{S}$ est un cercle.

 L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.
    $\mathscr{P}$ est la surface d'équation $x^2+y^2=3z^2$.

Affirmation:
$O$ le seul point d'intersection de $\mathscr{P}$ avec le plan $(yOz)$ à coordonnées entières.