BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2009

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$. On prendra pour unité graphique 2~cm. Soit A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}  = \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 1 + 2\text{i}$

  Justifier qu'il existe une unique similitude directe $S$ telle que :
    \[ S(\text{O}) = \text{A}~~ \text{et}~~ S(\text{A}) = \text{B}.\]
  Montrer que l'écriture complexe de $S$ est :
  \[z' = (1 - \text{i})z + \text{i}.\]
Préciser les éléments caractéristiques de $S$ (on notera $\Omega$ le centre de $S$).
    
On considère la suite de points $\left(A_{n}\right)$ telle que :
 
            $\bullet~$ $A_{0}$ est l'origine du repère et,
            $\bullet~$ pour tout entier naturel $n, A_{n+1} =  S\left(A_{n}\right)$.
     
    On note $z_{n}$, l'affixe de $A_{n}$. (On a donc $A_{0} = \text{O},~ A_{1} = \text{A}$ et $A_{2} = \text{B}$).
 
    
         Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ z_{n} = 1 - (1 - \text{i})^n$.
         Déterminer, en fonction de $n$, les affixes des vecteurs $\overrightarrow{\Omega A_{n}}$  et $\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}$.
        
Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}},~\overrightarrow{A_{n}A_{n+1}}\right)$.
         En déduire une construction du point $A_{n+1}$ connaissant le point $A_{n}$.
        
Construire les points $A_{3}$ et $A_{4}$.
    
 Quels sont les points de la suite $\left(A_{n}\right)$ appartenant à la droite $(\Omega \text{B})$ ?