BAC S SPECIALITE Nouvelle-Calédonie décembre 2008

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\text{OI}}~;~\overrightarrow{\text{OJ}}\right)$. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$.

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-2)(4,2)
\psline(0,0)(1.5,1)
\psline(1.5,1)(2,0)
\psline(2,0)(1,-1)
\psline(1,-1)(0,0)
\psline(0,0)(0.24,1.26)
\psline(0.24,1.26)(1.5,1)
\psline(1.5,1)(2.25,0.75)
\psline(2.25,0.75)(2,0)
\psdots(2,0)
\uput[dr](2,0){A}
\psdots[linecolor=blue](1.5,1)
\rput[bl](1.58,1.12){B}
\psdots[linecolor=blue](1,-1)
\uput[dl](1,-1){P}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,0)(0.24,1.26)(2.25,0.75)
\rput[bl](0.32,1.38){N}
\rput[bl](2.34,0.86){M}
\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B.

 On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$.
 
{Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. }

  {À l'aide des transformations}

         Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$.
          Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$.
             Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre.
         Quelle est l'image du point O par $r$ ?
             En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
    
 {En utilisant les nombres complexes}
    
         Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$. On utilisera les résultats de la question 1. a.
             En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N.
             Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.