BAC S SPECIALITE Métropole La Réunion septembre 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On réalisera une figure en prenant 4~cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} =  1$.

Partie A

$k$ est un réel strictement positif ; $f$ est la similitude directe de centre O de rapport $k$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

On note A$_{0}$ =  A et pour tout entier naturel $n,~A_{n+1} = f\left(A_{n}\right)$.
 
          Étant donné un point $M$ d'affixe $z$, déterminer en fonction de $z$ l'affixe $z'$ du point $M'$ image de $M$ par $f$.
          Construire les points A$_{0}$, A$_{1}$,~A$_{2}$ et A$_{3}$ dans le cas particulier où $k$ est égal À $\dfrac{1}{2}$.
    
    
          Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, l'affixe $z_{n}$ du point $A_{n}$ est égale à $k^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}$.
          En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles le point $A_{n}$ appartient à la demi droite $\left[\text{O}~;~ \overrightarrow{u}\right)$ et, dans ce cas, déterminer en fonction de $k$ et de $n$ l'abscisse de $A_{n}$.
     
Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Désormais, $k$ désigne un entier naturel non nul.

  Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.

  Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel $k$ pour laquelle $k^6$ est un multiple de 2008.

  Pour quelles valeurs des entiers $n$ et $k$ le point $A_{n}$ appartient-il à la demi droite $\left[\text{O}~;~\overrightarrow{u}\right)$ avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?