BAC S SPECIALITE La Réunion juin 2008

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonornal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.
Soient A, B et C les points d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = 2 + \text{i},~~ z_{\text{B}} = 5 + 2\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}}= \text{i}. \]
$s_{1}$ désigne la symétrie d'axe (AB).
    
          Démontrer que $s_{1}$ transforme tout point $M$ d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ telle que
       \[z' = \left(\dfrac{4}{5} +  \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\overline{z} + \left(-\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\right)\]
          En déduire l'affixe de C$'$, symétrique de C par rapport à (AB).
          Démontrer que l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ est imaginaire pur est la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $4x+ 3y= 1$.
          Vérifier que le point C$'$ appartient à ($\mathcal{D}$).
     
          Démontrer que les droites ($\mathcal{D}$) et (AB) sont sécantes en un point $\Omega$ dont on précisera l'affixe $\omega$.
           On désigne par $s_{2}$ la symétrie d'axe ($\mathcal{D}$) et par $f$ la transformation définie par $f = s_{2} \circ s_{1}$. Justifier que $f$ est une similitude directe et préciser son rapport.
           Déterminer les images des points C et $\Omega$ par la transformation $f$.
           Justifier que $f$ est une rotation dont on donnera le centre.
     
 Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n 'aboutit pas.}
    
          Déterminer les couples d'entiers relatifs $(x~;~ y)$ solutions de l'équation : $4x + 3y = 1$.
          Déterminer les points de ($\mathcal{D}$) à coordonnées entières dont la distance au point O est inférieure à $9$.