BAC S SPECIALITE Métropole juin 2008

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Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B = 7+ \dfrac{7}{2} \text{i}$.

  On considère la droite ($d$) d'équation $4x + 3y = 1$.

Démontrer que l'ensemble des points de ($d$) dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points $M_{k}(3k + 1,- 4k -1)$ lorsque $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs.
 Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en $M_{-1}(- 2~;~3)$.
 Soit $s$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z $ associe le point $M'$ d'affixe

\[z' = \dfrac{2}{3}\text{i}z + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}\text{i}.\]

Déterminer l'image de A par $s$, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de $s$.
 On note B$_{1}$ l'image de B par $s$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, B$_{n+1}$ l'image de B$_{n}$ par $s$.
    
          Déterminer la longueur AB$_{n+1}$ en fonction de AB$_{n}$.
          À partir de quel entier $n$ le point B$_{n}$, appartient t-il au disque de centre A et de rayon $10^{-2}$ ?
          Déterminer l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels A, B$_{1}$ et B$_{n}$ sont alignés.