BAC S SPECIALITE Centres étrangers juin 2008

\vspace{-0.8cm}  \hfill \hyperlink{Centres_juin2008_retour}{Retour au tableau}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)${} l'unité graphique est 2~cm.

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives:
\[a = 2,~~b = 2 + 3\text{i},~~c=3i,~~d=- \dfrac{5}{2}+3\text{i}~~\text{et}~~e = - \dfrac{5}{2}.\]

  Placer ces cinq points sur un graphique qui sera complété au fil de l'exercice.
  On admet que deux rectangles sont semblables si et seulement si le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles.
 Démontrer que OABC et ABDE sont deux rectangles et qu'ils sont semblables.
  {Étude d'une similitude directe transformant OABC en ABDE}
    
         Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et A en B.
             Démontrer que la similitude $s$ transforme OABC en ABDE.
             Quel est l'angle de la similitude $s$ ?
             Soit $\Omega$ le centre de cette similitude. En utilisant la composée $s \circ s$, démontrer que le point
$\Omega$ appartient aux droites (OB) et (AD). En déduire la position du point $\Omega$.
        
  {Étude d'une similitude indirecte transformant OABC en BAED}
    
         Montrer que l'écriture complexe de la similitude indirecte $s'$ qui transforme O en B et qui
laisse A invariant est :

\[ z' = - \dfrac{3}{2}\text{i}\overline{z}+ 2 +3\text{i}\]

où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
             Montrer que $s'$ transforme OABC en BAED.
             Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
        
    Démontrer que $s'$ est la composée de la réflexion d'axe (OA) suivie d'une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.