BAC S SPECIALITE Asie juin 2008

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Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls ; on appelle \og réseau \fg{} associé aux entiers $a$ et $b$ l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x~;~ y)$ sont des entiers vérifiant les conditions : $0 \leqslant x\leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant b$. On note $R_{a,~b}$ ce réseau.

Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.

{A - Représentation graphique de quelques ensembles}

Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe \no 1 à rendre avec la copie.

Représenter graphiquement les points $M(x~;~ y)$ du réseau $R_{8,8}$  vérifiant :

  $x \equiv 2\quad  (\text{modulo}~ 3)$ et $ y \equiv 1 \quad  (\text{modulo}~3)$, sur le graphique 1 de la feuille annexe
  $x+y \equiv 1\quad$  (modulo 3), sur le graphique 2 de  la feuille annexe ;
 $x \equiv  y \quad$ (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.

{B - Résolution d'une équation}

 On considère l'équation (E) : $7x - 4y =1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

  Déterminer un couple d'entiers relatifs $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ solution de l'équation (E).

   Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

 Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution $(x~;~y)$ pour laquelle le point $M(x~;~y)$ correspondant appartient au réseau $R_{4, 7}$.

 {C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.}
 
 Si $a$ et $b$ sont  deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [O$A$] du réseau $R_{a,~b}$, avec
O(0~;~0) et $A(a~;~b)$.

 Démontrer que les points du segment [O$A$] sont caractérisés par les conditions :

\[0 \leqslant x  \leqslant a ~;~0 \leqslant  y \leqslant  b~;~ay=bx.\]

  Démontrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les points O et $A$ sont les  seuls points du segment [O$A$] appartenant au réseau $R_{a,~b}$.

  Démontrer que si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [O$A$] contient au moins un autre point du réseau.

(On pourra considérer le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$ et poser $a = da'$ et $b = db'$.)