BAC S SPECIALITE Amérique du Nord mai 2008
L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
On nomme (S) la surface d'équation $x^2 +y^2 - z^2 = 1$.
- Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan ($x$O$y$).
On nomme A et B les points de coordonnées respectives $(3~;~ 1~ ;~-3)$ et $(-1~;~1~;~1)$.
- Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par les points A et B.
- Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S).
- Determiner la nature de la section de la surface (S) par un plan parallèle au plan ($x$O$y$).
On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan d'équation $z = 68$.
- Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
M étant un point de (C), on désigne par $a$ son abscisse et par $b$ son ordonnée.
On se propose de montrer qu'il existe un seul point M de (C) tel que $a$ et $b$ soient de entiers naturels vérifiant $a < b$ et ppcm$(a~ ;~b) = 440$, c'est-à-dire tel que $(a,~b)$ soit
solution du système
(1): $\left\{\begin{array}{l}
a<b\\
a^2 + b^2 = 4625\\
\text{ppcm}(a~ ;~b) = 440\\
\end{array}\right.$\\
- Montrer que si $(a,~ b)$ est solution de (1) alors pgcd$(a~;~ b)$ est égal à $1$ ou $5$.
- Conclure
Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
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