BAC S SPECIALITE Pondichéry avril 2008

                                                      Partie A

On suppose connu le résultat suivant :

Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az +b$, où $a \in \mathbb{C}^*$ et $b \in \mathbb{C}$.

Démonstration de cours :  on se place dans le plan complexe. Démontrer que si $A, B, A'$ et $B'$ sont quatre points tels que $A$ est distinct de $B$ et $A'$ est distinct de $B'$, alors il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$.

                                                 Partie B
 
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonomal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$

On considère les points $A,~ B,~C,~ D$ d'affixes respectives
 \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]
    

1. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~ z_{B},~ z_{C}$ et $z_{D}$.
2. Construire à la  règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ (on prendra pour unité graphique $2$~cm).
3. Déterminer le milieu du segment $[AC]$, celui du segment $[BD]$. Calculer le quotient $\dfrac{z_{B}}{z_{A}}$. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.

    
 On considère la similitude directe $g$ dont l'écriture complexe est
                      $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$.

4.  Déterminer les éléments caractéristiques de $g$.
5.           Construire à la règle et au compas les images respectives $E,~ F$ et $J$ par $g$ des points $A,~ C$ et $O$.
6.           Que constate-t-on concernant ces points $E,~ F$ et $J$ ? Le démontrer.