BAC S SPECIALITE Calédonie décembre 2007

         Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{10}$ par $11$ ? Justifier.
         Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{4}$ par $5$ ? Justifier.
         En déduire que $6^{40} \equiv 1\:[11]$ et que $6^{40} \equiv 1\:[5]$.
         Démontrer que $6^{40} - 1$ est divisible par $55$.
    
 Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers relatifs.
    
         Montrer que l'équation
\[  (E) \qquad 65x - 40y = 1\]
n'a pas de solution.
         Montrer que l'équation
\[  (E') \qquad 17x - 40y = 1\]
admet au moins une  solution.
         Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $(E')$.
         Résoudre l'équation $(E')$.\\
En déduire qu'il existe un unique naturel $x_{0}$ inférieur à $40$ tel que

$17x_{0}\equiv 1 \quad [40]$.
    
 Pour tout entier naturel $a$, démontrer que si $a^{17} \equiv b \quad [55]$ et si $a^{40} \equiv 1 \quad [55]$, alors

$b^{33} \equiv a \quad [55]$.