BAC S SPECIALITE Amérique du Sud novembre 2007

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$.

On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.

 On considère les points A d'affixe $1$ et B d'affixe i. On appelle $S$ la réflexion (symétrie axiale)
    d'axe (AB).
    
Montrer que l'image $M'$ par $S$ d'un point $M$ d'affixe $z$ a pour affixe

$z' =  -\text{i}\overline{z} + 1 + \text{i}$.
      On note $H$ l'homothétie de centre A et de rapport $-2$. Donner l'écriture complexe de $H$.
      On note $f$ la composée $H \circ S$.
    
         Montrer que $f$ est une similitude.
             Déterminer l'écriture complexe de $f$.
    
  On appelle $M''$ l'image d'un point $M$ par $f$.
    
         Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{\text{A}M''} = -2\overrightarrow{\text{A}M}$ est la droite (AB).
             Démontrer que l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{\text{A}M''} = 2\overrightarrow{\text{A}M}$ est la perpendiculaire en A à la droite (AB).