BAC S SPECIALITE Réunion septembre 2007

On considère l'ensemble A$_{7} = \{1~;~2~;~3 ~;~4~;~5~;~6\}$
        
              Pour tout élément $a$ de A$_{7}$ écrire dans le tableau figurant en annexe 2 l'unique élément $y$ de A$_{7}$ tel que $ay \equiv  1 \quad (\text{modulo}~7)$.
              Pour $x$ entier relatif, démontrer que l'équation $3x \equiv  5 \quad(\text{modulo}~ 7)$ équivaut à $x \equiv  4\quad (\text{modulo}~ 7)$.
              Si $a$ est un élément de A$_{7}$, montrer que les seuls entiers relatifs $x$ solutions de l'équation $ax \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 7)$ sont les multiples de $7$.
        
      Dans toute cette question, $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A$_{p}= \{1~;~ 2 ~;~\ldots ~;~ p - 1\}$ des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à $p$. Soit $a$ un élément de A$_{p}$.
        
              Vérifier que $a^{p - 2}$ est une solution de l'équation $ax \equiv 1\quad (\text{modulo}~ p)$.
              On note $r$ le reste dans la division euclidienne de $a^{p - 2}$ par $p$. Démontrer que $r$ est l'unique solution $x$ dans A$_{p}$, de l'équation $ax \equiv  1\quad (\text{modulo}~ p)$.
              Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. Démontrer que $xy \equiv  0 \quad(\text{modulo}~ p)$ si et seulement si $x$ est un multiple de $p$ o\`u $y$ est un multiple de $p$.
              Application : $p =  31$. Résoudre dans A$_{31}$  les équations : $2x \equiv  1 (\text{modulo} 31)$ et $3x \equiv 1 \quad(\text{modulo} 31)$.

À l'aide des résultats précédents, résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $6x^2 - 5x + 1 \equiv  0 \quad(\text{modulo}~ 31)$.