BAC S SPECIALITE Antilles-Guyane septembre 2007

ABC est un triangle équilatéral tel que $\left(\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AC }} \right) = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,~k \in \mathbb{Z}.$
Soit $t$ un nombre réel fixe et soient les points $M,~ N$ et $P$, deux à deux distincts, définis par
\[\overrightarrow{\text{A}M} = t\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{B}N} = t\overrightarrow{\text{BC}}~ \text{et}~\overrightarrow{\text{C}P} = t\overrightarrow{\text{CA}}.\]

 Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une unique similitude directe $\sigma$ qui transforme les points A, B et  C en respectivement $M,~N$ et $P$, et d'en préciser les éléments caractéristiques.
 
 On munit le plan dun repère orthonorinal $\left(O~;~\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)$ direct.
 
  On note $a,~ b,~ c,~ m,~ n$ et  $p$, les affixes respectives des points A,  B, C,  $M,~N$  et  $P$.

  On rappelle que toute similitude conserve le barycentre.
    
          Exprimer $m,~n$ et $p$ en fonction de $a,~b,~c$ et $t$.
          En deduire que les deux triangles ABC et $MNP$ ont même centre de gravité.
 Ou notera G ce centre de gravité.
          On suppose que $\sigma$ existe. Déterminer l'image de G par $\sigma$.
    
  On considére la rotation $r$ dc centre G et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}.$
    
          Vérifier que $M$ est le barycentre du système de points $\{\text{A}(1 -t)~;~ \text{B}(t)\}$, et en déduire que $r(M) = N$.
 On admet de même que $r(N) = P$  et $r(P) = M$.
   Soit $\sigma_{1}$, la similitude directe de centre G de rapport    $\dfrac{\text{GM}}{\text{GA}}$ et d'angle $\left(\overrightarrow{\text{GA}},~\overrightarrow{\text{GM}}\right)$.
Montrer qu'elle transforme les points A, B et C en respectivement $M,~ N$ et $P$.
          Conclure sur l' existence et l'unicité de $\sigma$.